Luận án nghiên cứu các phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh trong không gian Banach, nghiên cứu sự hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh dựa trên việc chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và tựa độ lệch suy rộng, xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho phương trình hiệu chỉnh đã đề xuất và nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều.

 Các kết quả chính của luận án bao gồm:

1. Xây dựng được phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử đặt không chỉnh trong không gian Banach trong hai trường hợp: khi các toán tử có tính chất thế năng và toán tử ngược đơn điệu mạnh.

2. Đưa ra cách chọn tham số hiệu chỉnh theo nguyên lý tựa độ lệch và tựa độ lệch suy rộng. Dựa trên cách chọn này, tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh được đánh giá khi sai số dần tới không.

3. Đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh khi đã được xấp xỉ hữu hạn chiều cho bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không gian Banach.

4. Đề xuất một phương pháp hiệu chỉnh lặp giải hệ phương trình toán tử đơn điệu, sự hội tụ của phương pháp được thiết lập dựa trên cơ sở chọn dãy tham số thích hợp và điều kiện đơn điệu, liên tục Lipschitz của các toán tử, đưa ra các ví dụ số mang tính chất minh họa cho phương pháp đã đề xuất.

          Kết quả chính của luận án được công bố trong 04 bài báo được đăng trên các tạp chí uy tín trong nước và quốc tế, trong đó có 01 bài trong danh mục SCIE, 01 bài trong danh mục Scopus, 01 bài báo quốc tế có chỉ số và 01 bài trong nước.

Khả năng ứng dụng trong thực tiễn: 

Bài toán tìm nghiệm của hệ phương trình toán tử đơn điệu trong không gian Banach được ứng dụng trong nhiều bài toán thực tế như: bài toán khôi phục ảnh, bài toán khôi phục tín hiệu, bài toán điều khiển tối ưu, bài toán tìm điểm bất động chung của họ ánh xạ không giãn, bài toán chấp nhận lồi, bài toán cực trị không ràng buộc, v.v...

Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu:

1. Nghiên cứu nhằm giảm nhẹ các điều kiện đặt lên các toán tử.

2. Nghiên cứu các tiêu chuẩn dừng cho phương pháp hiệu chỉnh lặp đã được nghiên cứu.

3. Nghiên cứu và xây dựng ví dụ số trong các không gian phức tạp và tổng quát hơn các ví dụ đã nghiên cứu trong luận án.

Chị Hương là nghiên cứu sinh thứ 16 học tập và bảo vệ thành công luận án tiến sĩ tại Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên. Chúc mừng tân tiến sĩ Trần Thị Hương. Chúc chị thành công hơn nữa trong sự nghiệp giảng dạy và nghiên cứu khoa học.